Page 164 - IJOCTA-15-1

J. Khan, M. Adil Khan, S. Sarwar / IJOCTA, Vol.15, No.1, pp.155-165 (2025)
Multiply with −1 and adding ω(δ 1 ) + ω(δ 2 ) on

αu + κv α κt both sides, we get
⇒ω ≤ ω v
α + κ α + κ α + κ
ω(δ 1 ) + ω(δ 2 )
κt κ αt αt
+(1 − u) + ω 1 − v + u .
α + κ α + κ α + κ α + κ
α 2
Γ κ (α)(α + κ) κ −1 α α,κ
− α α J αu+κv − ω(u)
(v − u) κ κ κ ( α+κ )
α
Multiply with α t κ −1 and integrating from 0 to
κ
1,we get
κ α,κ
+ α J αu+κv + ω(v)
α κ −1 ( α+κ )

αu + κv αu + κv
ω ≤ ω(δ 1 ) + ω(δ 2 ) − ω . (10)
α + κ α + κ
α 2 Z 1 α κt κt
≤ t κ −1 ω v+(1− )u dt Combining (9) and (10), we obtain (6).
κ(α + κ) 0 α + κ α + κ
α Z 1 α αt αt
+ t κ −1 ω (1 − )v + u dt
α + κ 0 α + κ α + κ

αu + κv 3. Bounds for the gap of
⇒ ω ≤
α + κ Hermite-Hadamard-Mercer type
α −1 inequalities
Z
α 2 α+κ α + κ λ − u κ
αu+κv
κ(α + κ) u κ v − u First we prove the following identity and then
α + κ dλ α present bounds for difference of (6). In this sec-
ω(λ) + ×
κ v − u α + κ tion, ω is assumed to be differentiable.
α
Z αu+κv −1
α+κ α + κ v − η κ α + κ dη
ω(η) − Lemma 1. Let u, v ∈ [δ 1 , δ 2 ] be such that u < v
α v − u α v − u
′
v and let ω ∈ L [δ 1 , δ 2 ]. Then
Z
αu + κv ακ(v − u) 1 α
⇒ ω t κ − 1
α + κ (α + κ) 2 0
2 α −1 Z αu+κv
α (α + κ) κ α+κ α −1 ′ αt αt
≤ α α (λ − u) κ ω(λ)dλ ω u + (1 − )v
κ κ +1 (v − u) κ u α + κ α + κ

α −1 Z v κt κt
(α + κ) κ α −1 − ω ′ (1 − )u + ( )v dt
+ α −1 α (v − η) κ ω(η)dη α + κ α + κ
α κ (v − u) κ αu+κv
α+κ
= ω(δ 1 ) + ω(δ 2 )
α
−1
αω(u) + κω(v) (α + κ) κ Γ κ (α)
− − ω(δ 1 )+ω(δ 2 )− α
α + κ
αu + κv (v − u) κ
⇒ ω 2
α + κ α α,κ κ α,κ
× α J αu+κv + ω(v)+ α J αu+κv − ω(u) .
2 α −1 κ κ ( ) −1 ( )
α Γ κ (α)(α + κ) κ α,κ α+κ α κ α+κ
≤ α α J αu+κv − ω(u) (11)
κ κ (v − u) κ ( α+κ )
α −1
κΓ κ (α)(α + κ) κ α,κ
+ α α J αu+κv + ω(v) Proof.
α κ −1 (v − u) κ ( α+κ )

ακ(v−u) R 1 α ′ αt αt
I 1 = (t κ − 1)ω u + (1 − )v dt
(α+κ) 2 0 α+κ α+κ

αu + κv
⇒ ω ακ(v − u) Z 1 αt αt
α
′
α + κ ⇒ I 1 = t κ ω ( )u + (1 − )v dt
α 2 (α + κ) 2 0 α + κ α + κ
Γ κ (α)(α + κ) κ −1 α α,κ Z 1
≤ α α J αu+κv − ω(u) ακ(v − u) ′ αt αt
(v − u) κ κ κ ( α+κ ) − (α + κ) 2 0 ω ( α + κ )u + (1 − α + κ )v dt.
κ α,κ
+ α J αu+κv + ω(v) .
α κ −1 ( α+κ ) Applying the techniques of integration
158