Page 165 - IJOCTA-15-1

Improvements of Hermite-Hadamard-Mercer inequality using k-fractional integral

α α
t κ ω αt u + (1 − αt )v 1 t κ ω (1 − κt )u + κt v 1
ακ(v − u) α+κ α+κ ακ(v − u) α+κ α+κ
I 1 = ⇒ I 2 =
(α + κ) 2 α(u−v) 0 (α + κ) 2 κ(v−u)
α+κ α+κ 0

Z 1
α
ω αt u + (1 − αt )v − ακ(v − u) α t κ −1
1
ακ(v − u) α α α+κ α+κ (α + κ) 2 κ
Z
− t κ −1 dt 0
(α + κ) 2 0 κ α(u−v)
α+κ ω (1 − κt κt
)u + v dt
α + κ α + κ
ω αt u + (1 − αt )v 1
ακ(v − u) α+κ α+κ
− ω (1 − κt )u + κt v 1
(α + κ) 2 α(u−v) ακ(v − u) α+κ α+κ
α+κ 0 −
(α + κ) 2 κ(v−u)
α+κ 0
α Z 1 α −1 αt αt
⇒ I 1 = t κ ω u + (1 − )v dt
α + κ α + κ α + κ
0 2
κ αω(u) − α
− ω(v) ⇒ I 2 =
α + κ α + κ κ(α + κ)
Z 1
α −1 κt κt
t κ ω (1 − )u + v dt
α 0 α + κ α + κ
αu+κv −1
α α+κ α + κ v − η κ
Z
⇒ I 1 =
α + κ v α v − u
Z αu+κv α −1
α + κ dη κ αω(u) α 2 α+κ α + κ λ − u κ
× ω(η) − − ω(v) ⇒ I 2 = −
α v − u α + κ α + κ κ(α + κ) u κ v − u
α + κ dλ
ω(λ)
κ v − u
α −1 Z v
(α + κ) κ α −1
⇒ I 1 = α α (v − η) κ ω(η)dη
α κ −1 (v − u) κ αu+κv
α+κ αω(u) α −1
κ ⇒ I 2 = − (α + κ) κ
− ω(v) α + κ α −1 α
α + κ α κ (v − u) κ
v
Z
α −1
(v − η) κ ω(η)dη
αu+κv
α+κ
α −1
κΓ κ (α) (α + κ) κ α,κ
⇒ I 1 = α α J αu+κv + ω(v)
α κ −1 (v − u) κ ( α+κ ) α
2
κ αω(u) α Γ κ (α)(α + κ) κ −1 α,κ
− ω(v). (12) ⇒ I 2 = − α α J αu+κv − ω(u).
α + κ α + κ κ κ (v − u) κ ( α+κ )
(13)
Let
Subtracting (12) from (13), we can write
Z 1
Z 1 ακ(v − u) αt αt
ακ(v − u) α ′ κt α ′
I 2 = (t κ − 1)ω (1 − )u 2 (t κ −1) ω u + (1 − )v
(α + κ) 2 0 α + κ (α + κ) 0 α + κ α + κ

κt κt
κt ′
+ v dt. − ω (1 − )u + v dt
α + κ α + κ α + κ
α −1 2
Γ κ (α)(α + κ) κ α α,κ
= α ω(u)
)
(
Again applying the integration techniques (v − u) κ κ κ α J αu+κv −
α+κ

κ α,κ αω(u) + κω(v)
+ α J αu+κv − ω(v) − .
α κ −1 ( α+κ ) α + κ
Z 1
ακ(v − u) α ′ κt κt
I 2 = t κ ω (1 − )u + v dt
(α + κ) 2 0 α + κ α + κ
ακ(v − u) Z 1 κt κt Adding and subtracting ω(δ 1 )+ω(δ 2 ) on the right
′
− ω (1 − )u + v dt
(α + κ) 2 0 α + κ α + κ sides, we obtain (11).
159